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La force de Lorentz
Comment un champ magnétique courbe la trajectoire d'une particule chargée en mouvement
§1.Une force perpendiculaire qui courbe sans accélérer
Imagine une particule chargée (électron, proton, ion) qui se déplace dans un champ magnétique uniforme B. Elle subit une force - la force de Lorentz - qui est toujours perpendiculaire à sa vitesse. Cette propriété a une conséquence remarquable : la force ne fait jamais de travail (W = F·d·cos90° = 0). La particule ne gagne ni ne perd d'énergie cinétique. Sa vitesse reste constante en norme, mais sa direction tourne en permanence.
Le résultat : la particule décrit un cercle parfait (ou une hélice si elle a une composante de vitesse parallèle à B). C'est ce principe qui est au cœur des cyclotrons (radiothérapie du cancer), des IRM, des accélérateurs de particules comme le LHC au CERN, et des aurores polaires.
§2.Expression de la force de Lorentz magnétique
La force de Lorentz est le produit vectoriel de la charge, de la vitesse et du champ magnétique.
Variables
- Force de Lorentz- N (newton)
- Charge de la particule- C (coulomb)Électron : −1,6×10⁻¹⁹ C. Proton : +1,6×10⁻¹⁹ C
- Vecteur vitesse de la particule- m/s
- Vecteur champ magnétique- T (tesla)
- Produit vectoriel (cross product)- -
- -|F| = |q|·v·B·sin θ, où θ est l'angle entre v et B. Maximum si v ⊥ B (sin 90° = 1). Nul si v ∥ B.
- -F ⊥ v toujours : la force est perpendiculaire à la vitesse → aucun travail → la vitesse reste constante en norme.
- -Si q > 0 et si q < 0 : le signe de q inverse la direction de F → la particule tourne dans le sens opposé.
§3.Rayon de Larmor - trajectoire circulaire
En équilibrant la force de Lorentz avec la force centripète, on obtient le rayon de la trajectoire circulaire.
Variables
- Rayon de Larmor (rayon de la trajectoire)- m
- Masse de la particule- kg
- Vitesse de la particule- m/s
- Valeur absolue de la charge- C
- Intensité du champ magnétique- T
- -Démonstration : |q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B).
- -Si B double → r est divisé par 2 (rayon plus petit, cercle plus serré).
- -Si v double → r double (cercle plus grand).
- -Si m double (particule plus lourde) → r double. C'est ce principe qui permet de séparer les ions par masse dans un spectromètre.
- -Période de révolution T = 2πm/(|q|B) - indépendante de la vitesse ! C'est l'isochronisme cyclotronique.
§4.Applications technologiques majeures
- Cyclotron (radiothérapie)
- Un cyclotron accélère des protons en spirale jusqu'à des énergies de 200 MeV grâce à un champ magnétique alternant. Les protons sont ensuite dirigés sur une tumeur cancéreuse avec une précision millimétrique. L'isochronisme (T indépendant de v) garantit la synchronisation.
- Exemple. Le cyclotron de l'hôpital Curie à Paris. En Afrique de l'Ouest, les cyclotrons médicaux sont encore rares - c'est un secteur en développement.
- Spectromètre de masse
- On ionise un échantillon (r = mv/(|q|B)), on mesure le rayon de courbure → on calcule m. Cela permet d'identifier les molécules et atomes avec une précision extrême.
- Exemple. Dosage des médicaments dans le sang, datation au carbone 14, analyse de polluants dans l'eau - toutes ces applications utilisent des spectromètres de masse.
- IRM (Imagerie par Résonance Magnétique)
- Un champ magnétique intense (1,5–3 T) oriente les spins nucléaires des protons du corps. Une onde radio pertube cette orientation. La relaxation des spins émet un signal mesurable. La force de Lorentz est à la base du confinement des charges dans l'aimant supraconducteur.
- Exemple. À l'hôpital Fann de Dakar, l'IRM permet de voir les lésions cérébrales, les hernies discales sans rayonnement ionisant (contrairement à la radio ou au scanner).
- Accélérateurs de particules (LHC)
- Le Large Hadron Collider au CERN utilise 1232 dipôles magnétiques supraconducteurs (chacun à 8,33 T) pour maintenir les protons sur un cercle de 27 km. La force de Lorentz fournie par ces aimants fournit la force centripète nécessaire.
- Exemple. Sans la force de Lorentz, les protons partiraient en ligne droite et sortiraient du tunnel. Les aimants 'courbent' leur trajectoire en cercle.
§5.Sens de rotation - règle de la main droite
- Règle de la main droite pour v × B
- Pour calculer v × B : aligne les 4 doigts de la main droite dans le sens de v, plie-les vers B. Le pouce pointe dans le sens de v × B (donc de F si q > 0). Pour q < 0, la force est dans le sens opposé.
- Exemple. B sortant de l'écran (+z), v vers la droite (+x) : v × B = x × z = −y (vers le bas). Particule positive dévie vers le bas. Particule négative dévie vers le haut.
- Sens de giration selon le signe de q
- Charge positive dans B sortant de l'écran : rotation antihoraire. Charge négative : rotation horaire. C'est ce qui permet de distinguer particules et antiparticules dans les détecteurs.
- Exemple. Dans une chambre à bulles (détecteur historique), protons et électrons laissent des traces courbées dans des sens opposés.
À retenir
- Force de Lorentz : F = q·v × B. Perpendiculaire à v → aucun travail, vitesse constante en norme.
- Trajectoire circulaire : rayon de Larmor r = mv/(|q|B). B double → r divisé par 2.
- Période T = 2πm/(|q|B) indépendante de v - isochronisme cyclotronique.
- Charge positive et négative tournent dans des sens opposés sous le même champ B.
- Applications : cyclotron (radiothérapie), spectromètre de masse, IRM, LHC, aurores polaires.
- Règle de la main droite pour v × B : doigts suivent v, se replient vers B, pouce = sens de F (pour q > 0).