Le pendule simple
Galilée et l'horlogerie : pourquoi une masse au bout d'un fil oscille toujours à la même cadence
§1.Une découverte historique
Selon la légende, Galilée a découvert l'isochronisme des petites oscillations en 1583, en observant un lustre dans la cathédrale de Pise. Il chronométrait les balancements avec son pouls et a constaté que la DURÉE d'un aller-retour ne dépend PAS de l'amplitude du balancement.
Cette propriété — qu'on appelle isochronisme — a permis pendant 3 siècles de fabriquer les horloges à balancier les plus précises du monde. Encore aujourd'hui, le pendule simple est l'oscillateur le plus étudié au lycée car ses lois sont simples mais profondes.
§2.Les éléments du système
- Le fil
- Inextensible et de masse négligeable. Sa longueur L est le paramètre principal qui détermine la période.
- La masse (bob)
- Objet ponctuel suspendu à l'extrémité du fil. Sa masse m intervient dans l'énergie mais PAS dans la période (contre-intuitif !).
- L'angle θ
- Angle entre le fil et la verticale. C'est la grandeur qui oscille. À l'équilibre, θ = 0.
- La gravité g
- Force qui ramène la masse vers la verticale. Plus g est grand, plus le pendule oscille vite.
§3.Période pour petits angles
La période est proportionnelle à la racine carrée de la longueur, et inversement proportionnelle à la racine carrée de la gravité.
Variables
- Période (durée d'un aller-retour complet)— s
- Longueur du fil— m0.1 à 5 m typique
- Accélération de la pesanteur— m/s²9.81 sur Terre
- —T NE DÉPEND PAS de la masse m (contre-intuitif mais vrai pour les petits angles).
- —T NE DÉPEND PAS de l'angle initial θ₀ (isochronisme).
- —Multiplier L par 4 → période doublée. Multiplier g par 4 → période divisée par 2.
- —Sur la Lune (g = 1.62), même pendule oscille √(9.81/1.62) ≈ 2.46× plus lentement.
§4.Équation du mouvement complète
L'accélération angulaire dépend du sinus de l'angle (terme de rappel gravitationnel) et d'un terme de frottement.
Variables
- Angle d'inclinaison— rad
- Vitesse angulaire— rad/s
- Accélération angulaire— rad/s²
- Coefficient d'amortissement (frottement air)0 à 0.5
- —Pour PETITS angles (<15°), sin(θ) ≈ θ → équation linéaire harmonique → T = 2π√(L/g).
- —Pour grands angles, sin(θ) < θ → la période réelle est PLUS LONGUE que 2π√(L/g).
§6.Énergie d'un pendule
- Énergie cinétique Eₖ
- Eₖ = ½·m·v² avec v = L·θ' (vitesse linéaire = longueur × vitesse angulaire). Maximale au passage par la verticale.
- Énergie potentielle Eₚ
- Eₚ = m·g·L·(1 − cos(θ)). Maximale aux extrémités du balancement (quand vitesse = 0).
- Conservation
- Sans frottement, l'énergie totale Eₘ = Eₖ + Eₚ reste constante. C'est juste un échange permanent entre les deux formes — comme un transfert d'eau entre 2 bocaux communicants.
- Amortissement
- Avec frottement de l'air, une partie de Eₘ est convertie en chaleur à chaque oscillation. L'amplitude décroît exponentiellement.
À retenir
- Période d'un pendule : T = 2π√(L/g) — ne dépend PAS de la masse ni de l'angle initial (petits angles).
- L'isochronisme est l'invariance de T avec l'amplitude (à condition que θ reste petit).
- L'énergie totale est conservée sans frottement, oscillant entre Eₖ (centre) et Eₚ (extrêmes).
- Pour grands angles (>15°) : la période réelle est plus longue que 2π√(L/g) — effet anharmonique.
- Sur la Lune : période × 2.46 vs Terre, à longueur identique.
- L'amortissement (frottements air) fait décroître l'amplitude exponentiellement.