Le double pendule et le chaos déterministe

§1.Deux bras, une équation exacte - et l'imprévisibilité totale

§2.Déterminisme ≠ prévisibilité

Système déterministe

Un système dont l'état futur est entièrement déterminé par l'état présent et les lois physiques. Pas de hasard - les équations sont exactes.

Exemple. Le double pendule : si tu pars exactement des mêmes conditions initiales, tu obtiens exactement la même trajectoire, à chaque fois.

Sensibilité aux conditions initiales

La propriété clé du chaos : une différence initiale infime (0,001°) produit des trajectoires complètement divergentes après quelques secondes. La divergence est exponentielle.

Exemple. Deux pendules à 0,001° d'écart semblent d'abord identiques, puis au bout de ~5 s, leurs trajectoires n'ont plus rien à voir.

Exposant de Lyapunov

Mesure le taux de divergence : d(t) ≈ d₀·eˡᵗ où λ est l'exposant. Si λ > 0, le système est chaotique. Plus λ est grand, plus la divergence est rapide.

Exemple. Pour le double pendule, λ ≈ 3–7 s⁻¹ selon les conditions. En 1 s, la séparation est multipliée par ~20.

Aléatoire vs chaotique

L'aléatoire n'a aucune loi sous-jacente (dé parfait). Le chaos suit des lois exactes mais est imprévisible en pratique. Un dé qui roule est chaotique, pas aléatoire - on ne peut pas mesurer les conditions initiales avec assez de précision.

Exemple. Un dé, si on connaissait exactement sa position, vitesse et orientation initiales, obéirait aux lois de Newton et donnerait toujours la même face. On l'appelle 'aléatoire' par ignorance des conditions.

§3.Formulation Lagrangienne du double pendule

• -Les équations du mouvement s'obtiennent par les équations d'Euler-Lagrange : d/dt(∂L/∂θ̇ᵢ) − ∂L/∂θᵢ = 0.
• -On obtient 2 équations différentielles couplées non-linéaires - impossible à résoudre analytiquement.
• -Pour les petits angles (sin θ ≈ θ), le système se linéarise et n'est plus chaotique.

§4.Résolution numérique : Runge-Kutta 4 (RK4)

Intégration numérique

Puisque les équations n'ont pas de solution exacte, on calcule l'état suivant à partir de l'état actuel en appliquant les forces pendant un très petit intervalle de temps dt.

Exemple. Pour dt = 1 ms, on fait ~1000 calculs par seconde de simulation. Chaque calcul avance l'état de 1 ms.

Méthode RK4

Méthode d'intégration d'ordre 4 : au lieu d'estimer la dérivée une seule fois (Euler), on l'estime 4 fois par pas et on combine intelligemment les 4 estimations. L'erreur décroît en O(dt⁴).

Exemple. RK4 est 100× plus précis qu'Euler pour le même dt. C'est la méthode standard en physique numérique, météo, aéronautique.

Conservation de l'énergie comme test

Un bon intégrateur numérique doit conserver l'énergie totale du système (en l'absence de frottement). Si l'énergie dérive fortement, le dt est trop grand ou la méthode trop imprécise.

Exemple. La simulation affiche E = cst (±quelques %) - signe que RK4 avec un petit dt fait du bon travail.