Le pendule de Newton - conservation du mouvement
Comprendre pourquoi exactement N billes repartent quand on en lève N
§1.La double conservation qui rend la réponse unique
Le pendule de Newton (ou berceau de Newton) est l'un des démonstrateurs physiques les plus célèbres. Cinq billes d'acier suspendues à des fils. Tu lèves N billes à gauche et les lâches - exactement N billes repartent à droite, à la même vitesse. Pas N-1, pas N+1. Toujours exactement N.
Ce n'est pas de la magie, mais la conséquence d'une contrainte mathématique très forte : pour des billes identiques de masse m, la seule solution qui satisfait simultanément la conservation de la quantité de mouvement ET la conservation de l'énergie cinétique est que k billes repartent à la même vitesse v. Toute autre combinaison viole l'une des deux lois.
§2.Conservation de la quantité de mouvement
La quantité de mouvement totale d'un système isolé est conservée.
Variables
- Quantité de mouvement d'un objet- kg·m/s
- Masse- kg
- Vitesse- m/s
- -Pour N billes de masse m à vitesse v : p_total = N·m·v.
- -Si k billes repartent à vitesse v' : k·m·v' = N·m·v → k·v' = N·v.
- -p est un VECTEUR : sa direction compte. Une bille rebondissant à gauche a une quantité de mouvement négative.
§3.Conservation de l'énergie cinétique
Dans une collision parfaitement élastique, l'énergie cinétique totale est conservée.
Variables
- Énergie cinétique- J
- Masse- kg
- Vitesse- m/s
- -Pour N billes de masse m à vitesse v : Eₖ_total = N·½·m·v².
- -Si k billes repartent à vitesse v' : k·½·m·v'² = N·½·m·v² → k·v'² = N·v².
- -Eₖ est un SCALAIRE et est proportionnel à v² (pas à v). C'est cette différence qui rend la solution unique.
§4.Résolution du système - pourquoi k = N est l'unique solution
- Le système d'équations
- On a deux équations : (1) k·v' = N·v et (2) k·v'² = N·v². Divisé l'équation (2) par (1) : v' = v. Puis de (1) : k = N.
- Exemple. Si 2 billes arrivent à v = 1 m/s, les seules sorties possibles sont : 2 billes à 1 m/s. Si on essayait 1 bille à 2 m/s : p = 1×2 = 2 ✓, mais Eₖ = ½×4 = 2 contre 2×½×1 = 1 ✗.
- Collision élastique vs inélastique
- Élastique : énergie cinétique conservée (billes en acier dur). Inélastique : une partie de Eₖ devient de la chaleur, du son, de la déformation. Les billes en pâte à modeler colleraient ensemble (totalement inélastique).
- Exemple. Le clic sonore du pendule, c'est de l'énergie inélastique. En pratique, les billes perdent ~1-2% d'Eₖ par choc - c'est l'amortissement.
- Pourquoi pas 5 billes à v/2 ? (Cas N=1)
- Si 1 bille arrive à v, peut-on avoir 5 billes à v/5 ? p = 5×m×(v/5) = m·v ✓. Eₖ = 5×½m(v/5)² = ½m·v²/5 ≠ ½mv² ✗. L'énergie ne serait pas conservée.
- Exemple. C'est la différence linéaire/quadratique entre p et Eₖ qui force la solution unique. Une seule combinaison (k=N, v'=v) satisfait les deux.
§5.Énergie potentielle et cinétique dans le pendule
Au moment du lâcher, toute l'énergie est potentielle. Au moment du choc, toute l'énergie est cinétique.
Variables
- Hauteur de levée par rapport à la position d'équilibre- m
- Accélération gravitationnelle- m/s²9,81 m/s² à Dakar
- Vitesse en bas de la trajectoire- m/s
- -Conservation : m·g·h = ½·m·v² → v = √(2·g·h). La masse disparaît !
- -Si h = 10 cm, v = √(2×9,81×0,1) ≈ 1,4 m/s.
- -C'est pourquoi les billes arrivent toujours à la même vitesse quelle que soit leur masse - l'oscillation est isochronique.
À retenir
- Quantité de mouvement p = m·v (vecteur, linéaire en v), conservée dans tout système isolé.
- Énergie cinétique Eₖ = ½mv² (scalaire, quadratique en v), conservée dans les collisions élastiques.
- Ces deux contraintes simultanées n'admettent qu'une seule solution : k billes repartent à la même vitesse v.
- Collision élastique : Eₖ conservée (acier dur). Collision inélastique : une partie de Eₖ → chaleur, son, déformation.
- Dans le pendule : m·g·h = ½mv² → v = √(2gh). La masse ne joue aucun rôle sur la vitesse.
- L'amortissement (le clic sonore, les frottements air) convertit progressivement l'énergie mécanique en chaleur.